信息技术与数学教材融合，人教社中数室主任想说。。。
导读
教学的数字化，离不开教材的数字化。按照目前对学生核心素养的培养要求，如果仍然将信息技术作为边空或选修去贴标签显然是跟不上时代步伐的。教材的数字化不仅仅是辅助，更需要整合，需要真正融合。数字化融合该坚持什么原则，采取什么模式？《中小学数字化教学》独家特邀人民教育出版社中学数学编辑室主任李海东编审与您分享其观点。
对信息技术与数学教材融合的思考
文丨李海东
在数学教育中使用信息技术由来已久。从20世纪70 年代初开始，数学和数学教育领域就在不断地引进信息技术：先是算术四则运算计算器，然后是科学计算器、各种计算机应用软件、图形计算器等。越来越多的数学教师开始使用计算机代数系统（CAS）、动态几何软件和统计分析软件辅助数学教学，信息技术应用于数学课程也开始逐渐成为数学教育改革的热点问题。进入21 世纪，使用信息技术已成为各国课程标准中的一条重要原则，从课程理念到具体内容也多提及信息技术。我们列表展示了一项比较研究中14个国家最新高中课程标准中信息技术的提及率（见表1）[1]。
表1 14个国家最新高中课程标准中信息技术提及率比较
随着信息技术的发展和数学课程要求的提高，信息技术进入数学教材也就成为了必然。目前，西方国家（特别是美国）在数学教材中使用图形计算器已经成为常态。我国使用的中学数学教材也整合了信息技术的内容。
同时应当看到，尽管数学教学中使用信息技术已经成为一种趋势，但实际应用效果并不理想。如在课程标准中，对信息技术的提及存在“两头多中间少”的现象，即在课程理念、实施建议中提及较多，而在具体内容标准中提及较少[1]。教材中，信息技术的使用多以边空和选学内容的形式出现，缺乏和正文内容的深度融合，存在“贴标签”的现象。教学中，信息技术的使用率还比较低。一项调查显示，在教学中不用信息技术的占65% 以上，经常使用的只有13% 左右[2]。经常使用信息技术的教师多是一些“发烧友”，普通教师往往是在上研究课或参加讲课比赛时才使用。
2015 年3 月，李克强总理在政府工作报告中提出“互联网+”行动计划，此后关于“互联网+ 教育”的讨论层出不穷。我国信息技术与教育整合新模式、新思路、新方法的大幕正在展开。目前正在修订的高中数学课程标准中，进一步将信息技术与数学课程从“整合”发展成为“融合”，在基本理念中提出“注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的实效性”。[3] 在课程内容、教学建议、评价建议、教科书编写建议等内容中也有很多关于使用信息技术的阐述。实际上，信息技术涉及数学课程的方方面面，信息技术与数学课程融合的本质是数学课程的建设与发展问题。数学教材作为数学课程呈现的载体，在信息技术与数学课程的融合方面应当发挥更重要的作用。
数学与信息技术有着天然的联系，信息技术的发展已经深刻地改变了数学世界。信息技术使得数学思想容易表达了，数学方法容易实现了，数学与现实的联系更加紧密了。信息技术与传统意义上的“人造工具”不同，它是“人造工具”与“智力技能”的综合[2]，是一种“认知工具”。将其应用于数学课程、教材中，将对数学教育产生革命性影响。
随着信息技术的发展，数学教育对人的数学素养要求已经从能进行纸笔运算，转换到能有效地、恰当地使用技术，能数学化地深入思考问题、简化概括过程和解决问题，以及能在几何与代数、代数与统计、真实问题情景与相关数学模型之间建立联系。有了信息技术，传统的数学教材中的繁杂运算能借助信息技术来完成，学生可以更多地经历数学过程，更好地理解数学本质。
例如，学习无理指数幂时，为了让学生体会有理指数幂逼近无理指数幂的过程，可以计算当
图1 计算机作图展示无理指数幂
信息技术融入数学课程，也将使得有关数学技能、技巧方面的内容越来越不重要。因此，教材内容应较少包含技能特性，更多地包含应用和表示特性。例如，数学史上，求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题。数学家制作了锐角三角函数表，并通过诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，进而达到会计算任意角的三角函数的目的。而有了信息技术工具，计算任意角的三角函数是非常容易的事情，所以诱导公式的“求值”作用已经不重要了。教材呈现时，应减少有关利用诱导公式计算三角函数值的内容，而把诱导公式所体现的三角函数的性质作为重点。诱导公式体现的三角函数的对称性（在利用单位圆定义三角函数的基础上，利用圆的对称性很容易得到这些性质），在解决三角函数的各种问题中比起计算三角函数值有着更重要的作用。
数学是研究空间形式和数量关系的科学，它很大的一个特点就是抽象。数学抽象就是从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号语言予以表征[3]。数学抽象素养的培养需要直观素材的支撑，更重视从直观到抽象的过程，信息技术在这些方面都具有独特的优势。信息技术具有的文字、图表、动画等多种表述方式可以从不同角度提供直观素材，为数学对象建立“多元联系表示”，它的交互性实验环境又可以提供探索的空间，让学生经历从直观到抽象的过程，让数学教材生动起来，也让数学学习更加有趣。
例如，在指数函数性质的学习中，过去的教材（或教学中）通常是在用描点法作出有限几个函数的图象后，就让学生通过观察这几个图象来讨论指数函数
图2 指数函数图象
图3 指数函数图象
在信息技术营造的认知环境中, 教材可以从新的角度去呈现数学问题，在一种动态变化的过程中认识数学概念的本质。例如上述问题中，通过设计a 的连续变化过程，把函数的解析式、图象及参数a紧密地结合在一起，并使三者都得到直观、动态的表示，这就使学生面对的数学对象发生了改变，也必然会使学生对数学概念本质的认识过程发生变化。在这样的认知环境中，观察、试验、猜想等过程都变得具体而清晰，数学思维的目的性增强，数学思考的程序性增强，数学推理的逻辑基础更加稳固。这就极大增加了学生通过自主、积极的数学思维去成功地建构数学概念、解决数学问题的可能性。
信息技术为数学教材提供了一种可操作的环境。在这种环境里，抽象的数学概念和关系是“可视的”，并且可以被具体操作。但是, 信息技术的这种优势常常因为技术本身的原因( 很多人对计算机的软、硬件环境不熟悉) 而得不到充分发挥。另外，我国地域广阔，信息技术硬件、软件，教师使用信息技术工具的能力也不尽相同。因此，信息技术与数学教材的融合应遵循整体性的原则，教材开发者要为信息技术与数学教材的融合提供整体解决方案，减少技术使用、操作上的困难。例如，针对上述指数函数性质的研究过程，教材开发者可以在教科书中呈现从一个图象到多个图象再到动态图象的探究过程，并制作好探究课件。教师或学生通过扫描二维码或下载的方式直接使用。教材开发者还要在教师用书中对这一探究过程的设计思路以及如何使用探究课件进行说明。这样将教科书、教师用书、配套数字产品整体考虑，更能有效地提高信息技术的使用率。
信息技术与数学教材融合的宗旨是充分发挥信息技术的特点和优势，做我们过去不能做，或者做得不太好的工作，来更好地构建交互式、多样化的学习平台，更好地引导学生进行学习，加强学生对数学的理解和感悟。数学教材按课程标准编写，包含不同的数学知识。一些数学的基本事实，例如“两点确定一条直线”，生活常识即可确认，没有必要使用信息技术。而一些数学概念和原理，往往反映了其中不同要素之间的关系，则有必要借助信息技术展现其从直观到抽象的过程。因此，信息技术与数学教材的融合要坚持适切性的原则，并且与传统的纸笔运算、逻辑推理、画表作图等之间达到一种平衡。
学生数学抽象素养的形成与发展关键在于“形成”，即从直观到抽象的过程，而信息技术在信息容量和呈现方式方面有天然的优势，可以支持数学知识不同角度的过程展现。例如，导数的几何意义是切线，利用信息技术工具，可以很好地展示直线与曲线从“相交一点”到“无限接近”再到“割线逼近”的过程，得到精确化的切线定义（即导数）。因此，信息技术与数学教材的融合要坚持过程性的原则，即从知识的不同角度，采用多种形式展现知识发生发展的过程，建立数学概念的多元联系表示，帮助学生理解抽象概念和原理。
信息技术与教材融合的目的是促使学生利用信息技术进行主动、有效的数学学习，应当使所有学生都在自己的数学学习中使用信息技术。当前，与数学教育相关的信息技术工具很多。它们能提供函数作图与分析、几何绘图、符号代数运算、电子表格与数据处理、程序设计、网页浏览等功能。在数学教材中，信息技术工具的使用应具有广泛性，应根据不同的教学内容，根据不同信息技术工具的特点，选择适当的信息技术工具。
信息技术中的计算工具、绘图工具及数据处理工具可以帮助学生进行复杂的计算、画图，减少解决问题过程中的机械、重复性劳动，提高学习效率和效果。这是信息技术工具最基本的应用。这种应用虽然与“探究”距离较远, 但它却为“探究”提供了手段和可能。例如，利用科学计算器，除四则运算外，还可以求对数，求三角函数值，计算统计量；利用几何画板和Geo Gebra 可以方便地画出各种几何和函数图形；利用图形计算器可以快捷地进行数据拟合；利用电子表格和统计软件可以方便地进行数据处理，包括进行数据抽样、画统计图，求统计量等。在数学教材中，要充分利用信息技术的这种工具性功能，代替繁杂、机械的劳动，将更多的精力用于理解数学本质、探索数学规律上，从而提高数学学习的效率和效果。
利用信息技术工具，可以将一些难以用语言描述或者学生欠缺经验但又接近真实情境的内容向学生直观地展示出来，能使抽象的符号、复杂而零散的数据得到直观表示。此外，可以对数学对象直接进行操作( 如局部放大、变换研究对象的位置、重复引起变化的关键因素、动态显示等)，将抽象内容形象化，静态关系动态化，建立数学概念的多元联系，帮助学生在一种直观、动态的情境中观察数学对象和关系的变化，帮助学生理解数学对象和对象间关系的本质。
例如，在平面基本性质的学习中，由平面公理，给定不共线三点A 、B 、C ，它们可以确定一个平面ABC ；连接AB 、BC 、CA ，这三条直线都在平面ABC 内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面ABC 内，所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面ABC（如图4）。
图4 通过直线密铺平面（刻画平面基本特征）
数学教材中，在呈现一些概念和原理时，需要创设问题情境，让学生围绕某个数学问题展开探究，让学生经历学习（研究）数学的过程，提升数学素养。信息技术工具强大的数值运算、代数推理、动态几何、统计分析等功能，为学生进行“数学实验”提供了条件。在这一过程中，教材所呈现的教学内容不单单是教师的讲授内容，而是学生主动建构的对象。信息技术也不单单是教师演示信息的工具，而是发现规律、获得猜想、解决问题的有效工具。
例如， 在探索A 、ω 、φ 对y =A sin(ωx +φ )图象的影响时，利用信息技术工具可以方便地通过单位圆画出y =sinx 的图象， 再逐个对ω 、φ 、A 取不同的值，得到新的图象。通过对图象的整体观察， 分析图象变化的原因， 理解A 、ω 、φ对图象的影响，理解它们的物理意义，并进一步加深对“三角函数作为一种周期运动”的模型的理解。
新的课程标准提出了数学建模和数学探究等研究性学习内容的要求，要求学生从现实情境或某个具体数学问题出发，提出问题，提出解决问题的思路和方案，经过建立模型或运算求解等过程，自主探索、合作探究得出结论。探究型学习的过程更离不开信息技术工具的支撑。利用信息技术工具，学生可以在教师引导下，自主获取知识、应用技术工具解决问题，更好地从事这种具有科研性质的活动。
例如，在学习了函数内容后，教材可以安排这样的探究型学习活动：“经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感。那么在25℃的室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？”显然，如果能建立茶水温度随时间变化的函数模型，那么就能容易地解决这个问题。为此，我们需要收集一些茶水温度随时间变化的数据，再利用这些数据建立适当的函数模型。在这一过程中，信息技术工具，如数据采集器、温度传感器等可以更准确地帮助我们收集水温数据。在得到数据后，我们可以利用信息技术工具画出散点图，再利用信息技术工具的拟合功能，选择适当的函数拟合这些离散点，进而得到茶水温度随时间变化的指数函数模型，从而使问题得以解决。
从“辅助”到“整合”再到“融合”，信息技术在数学课程中的作用越来越被广大数学教育工作者接受，信息技术与数学教材的融合也已进入到一个指数变化曲线的开始部分。我们相信，随着信息技术的发展，随着广大数学教育工作者的努力，信息技术与数学教材的融合必将迎来“指数增长”，这也将更好地改进我们的数学教育，提升学生的数学核心素养。
参考文献：
[1] 郭衎, 曹一鸣. 高中数学课程中使用信息技术的国际比较[J].中国电化教育，2016（5）：119-125.
[2]“中小学数学课程核心内容及其教学的研究”课题组. 数学·信息技术·数学教学[J]. 课程·教材·教法，2012（12）：62-66.
[3] 普通高中数学课程标准修订组. 普通高中数学课程标准（送审稿）[P].2017.
「来源：《中小学数字化教学》2017年第1期」
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作者 |人民教育出版社中学数学编辑室主任 李海东
文章责编 | 祝元志 版面设计 | 李宣琪
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